メモ

話題:「電流のエネルギーは電線の外を流れる」

http://ameblo.jp/kagaku/entry-10754057843.html

なかなか面白い講演だった。メモ。

回路理論のpdf

電気回路基礎
http://www.konoie.com/taro/documents/circuit.pdf
回路理論と量子力学への応用
https://www.researchgate.net/profile/.../56e756c908ae4c354b1a98df.pdf

全差動LPFの伝達関数特性

http://www.linear-tech.co.jp/product/LT6600-10

全差動のアンプとADの間に、LPFが入っているが、Cが共有されている場合が多い。 これを解くと

(Vin+-Vout+)/R=sC(Vout+-Vout-)=(Vout- -Vin-)/R

となり、ここから

(Vout+-Vout-)/(Vin+-Vin-) = 1/(1+s2RC)

となる。LPFの時定数が二倍になっている。このため、全差動のLPFではCの値が半分ですむ。 別の考え方をすると、Cの間のどこかにACGNDがあり、その点は2Cで分割された点である。

LPFを負荷として見たときの考え方

伝達関数を作れば一発だが、それ以外の方法でも理解してみる。 高周波になればなるほど、出力はほとんど変動しなくなる。 そのため、出力端を等価的にACGNDとして見ることが出来る。 ここから、カットオフ周波数以降では、LPFはほぼ抵抗として見えてくることが分かる。

立上り時間と立下り時間

http://www.kawakawa.net/note/oscillo/oscillo.html
1次LPFの変動後から10%と90%の間を立ち上がり時間tとすると、

0.35 = t*f

となる。ここでfは周波数特性である。

伝送線路的なLCR回路の伝達関数を求めてみる

伝送線路の特性インピーダンスと、集中定数のダンピング抵抗の値は同じような回路の場合には一致するのだろうか。 気になったので解いてみた。

LCR.png

上図のような回路の伝達関数を求めてみる。

H(s) = (1/2) * (2R/(RCL)) / (s^2 + s((R^2*C+L)/(RCL)) + (2R/(RCL)) )

となる。ここで減衰比ζは

ζ = (1/2ω) * ( (R^2*C+L)/RCL )

となる。臨界制動の場合はζ=1となるので、これをRについて解くと

(R-sqrt(L/C)) = 0

となり

R = sqrt(L/C)

となる。これはまさしく伝達関数の特性インピーダンスに他ならない。

LCR回路における発振周波数と臨界制動になる抵抗値

http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-3-8nizidentatu2.htm
など参考。

f = 1/sqrt(L*C)
R = 2*sart(L/C)

これがどの程度の値なのか大雑把に計算してみる。通常のプリント基板において、5cmほど入力と出力回路が離れていたとする。
この時、プリント基板上での寄生キャパシタと寄生インダクタンスを参考にして、Cp=5pF, Lp=20nHと仮定する。すると

f = 3.16[GHz]
R = 126[Ω]

となる。このときのRがよく言われるダンピング抵抗の役割を果たしている。今回は集中定数で考えているので、分布定数回路の場合はまた別。

インダクタの過渡応答について

インダクタは電流を一定にしようとする、と考えると分かりやすい(逆にキャパシタは電圧を一定に保とうとする)。

BPFの等価雑音帯域幅(ENB)

LPF側のカットオフ周波数をfL、HPF側のカットオフ周波数をfHとすると、

ENB = 1.11 * (fH - fL)

と表されるようだ。詳細は
http://www.scitechpub.com/Explore/McClaning_3.pdf
のp293辺り。(5.74)から、N次フィルタのENBは

ENB = B3db*(π/(2*N))/(sin(π/(2*N)))

理想電圧源と理想電流源

理想電圧源は、容量C、蓄積電荷Qが無限大でVが一定のコンデンサとして考えることができる。
同様に、理想電流源は、インダクタンスL、磁束Φが無限大でIが一定のコイルとして考えることが出来る。

RC回路におけるLPFの等価雑音帯域幅

ENB = 1 / (4*R*C)

非常にシンプルな式で表される。

分圧回路の間に電圧源が入っている場合の出力

circuit_1.png
Vx = (R1*VDD+R2*V1)/(R1+R2)

キャパシタのインピーダンス

改めて考えてみるとよく分からなくなったのでメモ。高周波で容量が大きいほどインピーダンスが小さくなるのは何故か。また、電圧と電流に位相差が生じるのは何故か。この二つについてまとめてみる。
まずは基本に立ち返るということで、キャパシタの電圧と電荷の関係を考える。

Q(t) = C*V(t)

当たり前と言えば当たり前だが、キャパシタに電荷Qが貯まることによって、そのキャパシタの容量Cに対応した電圧が両端に発生することになっている。電荷は電流で表すことが出来て

dQ(t) = I(t)*dt

となることも分かる。電流によって流れた分の電荷の合計がQということである。ここから

I(t) = dQ(t)/dt = C*(dV(t)/dt)

となることが分かる。これが電流と電圧の関係式となる。この式から様々なことが分かる。例えば、電圧一定の時には電流は流れない。また、電圧が時間に対して線形増加をするとしたら、電流は一定となる。さらに、V(t)がステップ関数だとすると、電流は数式的には∞近くの値が流れることになる。キャパシタにスイッチとGNDが接続されているとして、スイッチをオンした瞬間にVinが接続される回路を想像すると分かりやすいかもしれない。寄生抵抗を考えなければ、一瞬でQ=C*Vinだけの電荷をキャパシタの片方側に流す必要があるので、dI=C*V*dtとなるような電流が流れるはずである。この時dt→0とするならば、瞬間的な電流は∞となる。実際には寄生抵抗成分などがあるので、その結果有限の時間が必要となる。詳しくはLPF、HPFの勉強のときにでも考える。
今考えていたのは、上式に対するステップ関数の応答である。線形な電圧やステップ関数の入力に対する電流を見るに、当たり前だが急峻な電圧ほど大量の電荷=瞬間的に大きな電流が必要になってくる。これが周波数によるインピーダンスの変化に繋がる。例えば、同じキャパシタに同じ電圧を加えるためでも(Q=CV)、電流を流せる時間が変われば、その分電流の値も変化することになる(dQ=I*dt)。高周波になるにつれて、電荷を充電するために電流を流せる時間が減り、それが結果的に大きな電流を流さなければならないことに繋がる。

Vin = sinωt

とすると、

I = C*(dV(t)/dt) = ω*C*cosωt

となることが分かる。ここからも、高周波になればなるほど電流の瞬間的な値は大きくなることが分かる。また、この関係が分かれば位相がずれるのも理解できるはずだ。例えば電圧Vin=sinωtがt=0から増加していくとすると、電圧を増加させるためには電荷を増やさなければならず、電流が流れることになる。しかし、電圧の増加は単調減少していくので、流すべき電流量自体は減少していくことになる。π/2まではその調子でいき、その後電圧が減少(=電荷を放電)するので電流は逆方向に流れるように見える。
周波数特性と位相特性を同時に扱ったのが御存知の通り複素数領域における解析であり、

V/I = 1/jωC

となる。

LPFの周波数特性と位相特性

LPFがなぜ周波数帯によって信号の強度と位相が変わるかが分からなかったのでメモ。基本的な考え方はキャパシタのインピーダンスで説明したとおりだが、結局はキャパシタに電荷が溜まるかどうかが鍵である。キャパシタ単体の時では、どれだけ高周波になろうと、それに見合った分だけ電流を流せば良かった。入力が正弦波だとすると、流す必要のある電流は

I = C*(dV(t)/dt) = ω*C*cosωt

となる。この電流が流せるかどうかがポイントである。例えば、最大の電流を流す必要がある時は

I = ω*C

となるが、LPFでは抵抗成分であるRによって電流が制限されてしまい、最大でも

I = Vin/R

しか電流を流せないことが分かる。
十分な低周波においてのLPFの振る舞いを考えてみよう。微小時間⊿tを考えるとして、⊿t進んだ時に⊿Vの電圧がVinに印加されたとする。この時、電流は

I = ⊿Vin/R

だけ流れることになる。この電流によってキャパシタに電荷が溜められていき、キャパシタの電圧も上昇する。Vinの変化がゆっくりなうち(=ω小)や、抵抗成分が低くて電流が多く流れる場合(=R小)では、VoutはVinに追従することができることが分かる。なので、ほとんど利得は1であり、かつ位相も変化しないことが分かる。またこの時電流はキャパシタが支配的に振舞うので、VInよりもπ/4だけ位相が進んでいる。
次に高周波におけるLPFの振る舞いを考えてみる。この状態では、Vinの急激な変化に電流Iが対応しきれず、キャパシタに電荷が溜まり切らないうちにVinの正負が反転してしまう。高周波においては、電流が一瞬しか流れず、結局キャパシタに電荷もほとんど溜まることはない。これが利得≒0となる理由である。ωCRという項が利得減少のひとつの基準値となるが、これは結局キャパシタに流れる電流が、Vinに追従して電荷を蓄積できるかどうかということを表している。Rが大きいほど電流が流れにくく、Cが大きいほど電荷はたくさん必要となり、ωが高いほど短い時間で蓄積をしなければならない。なので、RとCが大きいほど低周波側で信号をカットしてしまうのである。個人的なイメージとしては、カットというよりもキャパシタに吸収されてしまうといったほうがしっくりくる。位相差についてだが、Voutが小さいので、抵抗にほぼVinの電圧が常にかかっていることを考えると、近似的に

IR = Vin/R

となり、Vinに追従する形で電流が流れることが分かる。この電流に対してキャパシタは-π/4だけ位相がずれていることが分かる。
以上より、VoutがVinになるように電流が流れるか否かがポイントであることが分かる。ωCR=1の時は、ちょうど中途半端な状態であり、ある程度まではキャパシタに蓄積でき、位相もπ/8だけずれてしまうことが分かる。電荷としては信号をきちんと伝えているのだが、電荷を電圧に変換するキャパシタが、周波数によってその変換効率が変わってくるようなイメージだろうか。もう少し上手くまとめたいが、とりあえずは思いついたことを書きなぐってみた。

電気回路的な観点から見たLPF

回路的に考えれば、LPFは、ただの分圧回路である。しかしながら、Cの値が周波数によって変化するということが現象をややこしくしている。低周波の場合には、Cのインピーダンスはほぼ無限となり、Vinがほぼそのまま出力に出てくることになる。一方、高周波の場合、Cのインピーダンスはほぼ0に近づくので、出力もGNDに張り付くようになる。

HPFの周波数特性

HPFでまず分かりにくいのが、ステップ応答である。入力電圧が立ち上がった瞬間、出力電圧もそれに追従し、その後、指数的に出力電圧が減衰していく。
この動作を理解するためには、出力電圧とGNDの間に接続されている抵抗を容量に取り替えてみるといい。つまり、容量の直列接続をイメージする。
入出力端に接続されている容量をC、出力とGNDに接続されている容量をCxとする。すると

C * (Vin-Vout) = CX*Vout
Vout = ( C/(C+CX) ) * Vin

となる。電荷の流れで考えると、入力に電圧が印加されたために、CのほうへCXから電荷が引っ張られる。どれだけ引っ張られるかは、上式から明らかである。ここで、CX=とすると、入力電圧と出力電圧は一致する。この電荷を引っ張る力が電圧となって現れているのである。
さらにCXをRに置き換えてみる(通常のHPFである)。電流量は抵抗で制限され、その結果、指数的に電流が流れる。そのため電荷が容量に溜まる速度も抵抗に依存し、Q=C*Vinの電荷が溜まるまで、電流が流れ続ける。

HPFの位相特性

Vinの大きさと、Rに流れる(Cから流出する)電流を考えると分かりやすいかもしれない。 入力電圧の変化が早ければ、それだけRに流れる電流の積分値は小さくなり、結果として出力電圧はほとんど変化しない。
一方、入力電圧の変化が遅かったり、抵抗、容量が小さかったりすると、入力電圧が大きくなる速度以上に、出力電圧が小さくなる速度が速くなってくる。このため、低周波などになると、出力電圧の位相がズレてくる。 入力電圧の変化に大して、Rに流れる電流が大きいかどうかがポイントである。R→0の場合、VoutがGNDに張り付くことを考えても、直感的に理解しやすい。

詳解 電気回路演習(上)

演習問題を解いてみて、気になったところをメモする。

[6]

R(∞) = ( R1||R(∞-1) ) + R2

となり、R(∞)=R(∞-1)とすればいい。

[7]

(1)では、もしEO, OG間の抵抗が無かったとすると、E,O,Gが同電位(=VAB/2)と考えられる。この間には電流がながれないため、EO間、OG間にどのような抵抗があってもAB間の抵抗には寄与しない。REO=ROG=0とする。ここから

RAB = 2*[R||(R+[R||2R])]=(5/4)R

(2)AOC軸を回転させても回路の幾何学的な形状が変わらないため、VH=VE, VD=VB, VG=VFが言える。ここから、回路を簡略化すると、A-HE間がR/2, HE-DB間がR/2, HE-O間がR/2, 逆側も同様の結果となる。さらにこの回路の形状から、DBとOの電位も同じだと分かる。ここから目の子で

RAC =3*(1/2)R=(3/2)R

[8]

いきなり悩んでしまった。点対称の関係から図1.19のようになることがなかなか理解できなかった。しばらく考えていると、電流の向きを逆にした場合、確かに対称性が存在するらしいことが分かった。 Hの左側の点をJとする。このとき、電流の向きを逆側にするとBA間にi1という電流が流れるはずである。図形を180度回転すると、BA間の電流i1はXH間の電流i1と等しくなる。ここから対称性が導かれる。 この考察でアヤフヤなのは、電流の向きを逆にした場合、BA間に流れる電流の絶対値がi1であっているかどうかということだ。VABの電位は、AH間に印加されるVAHと、Rの関数f(R)で表され、VAB=f(R)*VAHとなるはずである。ここで、VAHに-1をかけてやると、VABもマイナスになるはずである。VAHとVABは比例関係になっているということが上記の考察の根拠である(なんとも当たり前なことで延々と悩んでいる気がする・・・)。

[9]

対称性より、[B,F], [BCの中点,FEの中点], [C,E]がそれぞれ同電位である。ここから回路を簡略化して

2*[(2/3)/((2/3)+1)]=4/5

[15]

A, C, GNDという節点に着目して、Y接続をΔ接続に変換してもいい。この場合は分圧で電圧を求めることが出来る。

[19]

2Rを(2/3)Rと(4/3)Rに分割すると、その中点はCと同電位になる。ここから抵抗を一まとめにすると、A点から順番に(2/5)R, (4/5)R, R, Rとなり、そのうちCD間にある抵抗は(4/5)RとRである。ここから

ECD = [(4+5)/(2+4+5+5)] * EAB

となり

EAB = 96

[24]

合成抵抗がRとなるため、全体の電流は

I = E/R

また、Rの端子に流れる電流はI/nのため

ER = R*(I/n)

上記から

ER = E/n

[30]

解答では、クラメルの方式を利用しているようだが、行列を変形させていって、目的の電流(Ig)の項を一つにする計算をした方が早い気がする。このくらいの計算量ならば、好みの問題だろうか。

[45]静電エネルギーの減少

問題を解くことよりも、このようなことをがなぜ起こるのはを考えるのがポイントだと思う。知恵袋にも同じような質問があった。

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1480977339

例えば、Cの値が同じだとすると、スイッチ後のエネルギーは半分になってしまっている。 SWのオンオフ前後でエネルギーが変わってしまっている。これではエネルギー保存則が満たされない。
もう少し現実的なモデルとして、微小なインダクタンスか抵抗成分があれば、それぞれ磁場エネルギーか熱エネルギーに変化したと考えてもいいだろう。
仮に、R=L=0となるような場合はどうだろうか。強いて言えば、容量の物理的な形状が変化したときだろうか。平行平板のキャパシタを仮定して、その平行平板の距離が1/2になった場合、エネルギーは移動した分消費されることになる。
しばらく考えてみたい。

モガミ電線にも同じような疑問が
1,2か月ほど考えてみて、それでも分からなかったらメールを送ってみたい。
http://www.mogami.com/puzzle/pzl-03.html


もう少し考えていると、単体のキャパシタに電荷を溜めて、それを理想スイッチで短絡してもエネルギーは失われてしまう。これは一体どこに消えたというのだろうか。現実的には電子の加速に消費されたのだろうか?

■170426追記
メールを送って回答を得たが、正直期待外れな答えだった。ざっくり言うと、容量だけの回路は現実には有りえず、そのため考えるべき回路自体が矛盾しているというものであった。当然、現実には抵抗やインダクタンスがあるはずで、そのため熱エネルギーや磁場エネルギーになるのは少し考えれば分かるはずである。
そうではなくて、仮にスイッチとキャパシタしか存在しない場合に、(少なくとも回路理論の枠組みの中で)どうなるかを考えることが重要だと思っていた。そういう物理的な世界があるとしたら、やはり現実と反してエネルギー保存則が満たされないのか、それとも何らかのエネルギーに変化したのか、そこが知りたかったわけである。数か月考えてみたが、このような答えで非常にガックリときてしまった。

ついでに、いくつか記事を引っ張ってみる。以下はIEEEの記事。
A Capacitor Analogy, Part 3 [Circuit Intuitions]
http://ieeexplore.ieee.org/document/7829488/

これによると、スイッチがオンしたまさにその瞬間に、∞の電流が一瞬だけ流れて、スイッチでエネルギーを消費しているという。しかしながら、これはR→0と極限を取っていっただけで、厳密に言うのであればR=0の場合ではない。狐につままれた気分である。

回路理論と量子力学への応用
https://www.researchgate.net/profile/.../56e756c908ae4c354b1a98df.pdf

また、上記によると、キャパシタに溜まっているエネルギーは疑似的なもので、実際にはエネルギーではないという。これも正直なところさっぱりである。
今の所、しっくりとくる理論が無く、納得が行かない。今後もこの問題については考え続けていきたい。

■170613追記
あれからしばらく考えてみたが、やはりモガミ電線のメールにあったように、現実と一致していないためにそもそもナンセンス、という意見が一番しっくりくるように感じてきた。エネルギー保存則はあくまで現実世界で成り立つ(であろう)理論であり、その現実に即していない理論を考えてもしょうがない。今後もちょくちょく考えてみたい。

■170711追記 また面白そうな文献があった。
http://www.ms1.mctv.ne.jp/sifoen.project/Production/Production-PDF/Model_Validation.pdf

電磁気的には、静電エネルギーは電磁場として放出されるようだ。 しかしながら、回路理論の枠組みにおいて磁場を司る素子はインダクタなので、L=0の場合を考えると、電磁場として放出されないのではないだろうか。そう考えると、やはり電気回路理論の枠組みのみにおいて、エネルギー保存則は成立しないのではないかと思う。

[57]

なかなかボリュームのある問題だった。
(2)の方程式を解くにあたって、久しぶりに行列を思い出した。特性方程式を解けばいいのだが、そもそもなぜ特性方程式を解けば答えが出てくるのか、あまり理解していなかったため、そこから勉強し直した。n→∞から初期値を出すのも、テクニカルな解法だなぁと感じた。
(3)については、[6]のような考え方もできる。コの字型の抵抗が無限に続いていると仮定すると、同じような形で解ける。以下を解けばいい。

R∞ = 2R + (R||R∞)

[58]

http://www.rainbowseeker.jp/xoops/modules/newbb/viewtopic.php?topic_id=151&forum=10&viewmode=flat&order=ASC&start=80

問題文に不備があるようだ。先にこの問題(1)があり、その後に電圧Ek(2)を求める問題がある。

一様な2本の銅線A0An,B0Bnが平行におかれ、図の様に、それらをn等分したあい対する点Ak,Bkでつながれていて、A0B0に電池がいれてある。AkAk+1、BkBk+1(k=0,1,2,...)とAnBnとの抵抗をRとし、A1B1,A2B2,...,AnBnを流れる電流をすべて等しくするためには、k番目の銅線AkBkの抵抗Rkは次のようであることを示せ。 Rk={(n-k)^2+(n-k)+1}R

(1)を手堅く解くのであれば、二項間漸化式を作り、階差を取ればいい。
http://mathtrain.jp/nikoukan
教科書の解法は、やや天下り的である。

(2)は(1)から導出するわけではなく、

Ek = E(AkBk) = E - E(A0Ak) - E(BkB0)

という関係を利用している。